Многомерное обобщение теоремы Сабитова

Cеминар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия им. Б.Н. Делоне» от 22 февраля 2013 года.

Докладчик: Александр Александрович Гайфуллин.

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с хотя бы 4 сторонами, то его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.

Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Эта теорема, несомненно, имеет самостоятельный интерес, однако изначально она возникла из замечательной области комбинаторной геометрии - теории изгибаемых многогранников.

Изгибаемый многогранник - многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Удивительный факт заключается в том, что хотя примеры самопересекающихся изгибаемых многогранников - октаэдры Брикара - были известны ещё с конца 19-го века, очень долго никому не удавалось построить примера несамопересекающегося изгибаемого многогранника. Впервые такой пример был построен Р. Коннелли в 1977 году. Вскоре им же была сформулирована гипотеза, утверждающая, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Эта гипотеза стала известной под названием гипотезы о кузнечных мехах. Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.

В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4, однако попытка обобщить это доказательство на случай произвольной размерности упиралась в серьёзные алгеброгеометрические трудности.

В 2012 году докладчику удалось получить доказательство прямого аналога теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности n>2 на основе новых идей. Доказательство стало возможным благодаря взаимодействию двух основных инструментов: теории нормирований полей, использование которой в такого рода задачах уже стало традиционным, и теории сдавливания симплициальных комплексов, использование которой является принципиально новым.

Видео: часть 1 (скачать).

Видео: часть 2 (скачать).