Александр Олегович Иванов

Ведущий научный сотрудник Лаборатории.

Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, заместитель заведующего кафедрой дифференциальной геометрии и приложений, ученый секретарь диссертационного Совета Д.501.001.84 при механико-математическом факультете, профессор кафедры математического моделирования МГТУ имени Н.Э.Баумана.

А.О. Иванов родился 14 августа 1963 года в г.Опочка Псковской области. В 1985 году с отличием закончил механико-математический факультет МГУ, в 1988 году – очную аспирантуру Отделения математики. В 1990 году защитил кандидатскую диссертацию «Минимальные поверхности и формы калибровки» (научный руководитель академик А.Т. Фоменко), посвященную изучению особенностей многомерных минимальных поверхностей с симметриями. А.О. Иванову удалось эффективно применить методы так называемых форм калибровки, созданные известными американскими специалистами Р. Харви и Х.Б. Лоусоном, к случаю многообразий с симметриями. Были построены новые примеры глобально минимальных конусов большой коразмерности, которые вызвали большой интерес у специалистов по многомерной проблеме Плато.

В дальнейшем научные интересы А.О. Иванова сконцентрировались в области известной проблемы Штейнера (одномерный аналог проблемы Плато) и ее разнообразных обобщений. А.О. Иванов – один из авторов теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач. Эта теория возникла на стыке дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории графов при попытке найти геометрический подход к решению проблемы Штейнера. Она дала возможность обнаружить ряд новых геометрических эффектов, найти взаимосвязи между геометрией граничных множеств и топологией экстремальных сетей, между структурой экстремальных сетей и метрическими и топологическими характеристиками объемлющего многообразия. В последнее время активно развивается также теория экстремальных сетей в метрических пространствах более общего вида, например, в нормированных пространствах, на многообразиях с особенностями, в пространствах ограниченной кривизны в смысле А.Д. Александрова и др. К возможным приложениям теории разветвленных экстремалей относятся задачи об оптимальном соединении, в том числе, транспортные задачи, молекулярная биология, теория эволюции, математическая экономика и пр. Также недавно возникла теория минимальных заполнений конечных метрических пространств, оказавшаяся тесно связанной с проблемой Штейнера.

В 1998 году А.О. Иванов защитил докторскую диссертация на тему «Геометрия минимальных сетей на римановых многообразиях». За цикл работ по теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач А.О. Иванов (совместно с А.А. Тужилиным) удостоен премии Шувалова первой степени за 2001 г.

В настоящее время А.О. Иванов является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, метрической геометрии, компьютерной геометрии. Он является автором более 90 научных работ, в том числе 4 монографий и 2 учебных пособий. А.О. Иванов неоднократно выступал с докладами на международных семинарах и конференциях как у нас в стране, так и за рубежом. А.О. Иванов является одним из создателей и руководителей научного семинара по теории экстремалей геометрических вариационных задач, работающего на механико-математическом факультете МГУ. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Под его руководством защищено 3 кандидатских диссертации, посвященные геометрии экстремальных сетей. Текущие научные интересы: Внутренние минимальные деревья для погруженных многоугольников, поверхностей Александрова; минимальные заполнения конечных метрических пространств, метрические оболочки; гипотеза Гилберта-Поллака, компьютерная геометрия.

Десять недавних публикаций:
1. Иванов А. О., Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Компьютерное моделирование кривых и поверхностей. Фундамент. и прикл. матем., 2009, 15:5, 63–94 (Journal of Mathematical Sciences (New York), 2011, 172:5, 663–689).
2. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. The Length of a Minimal Tree With a Given Topology: generalization of Maxwell Formula. arXiv:1101.2117v1 [math.MG] (http://arxiv.org); Vestnik MGU, Ser. Math., no.3, pp.7-14 (2010).
3. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal fillings in the sense of M.Gromov for finite metric spaces, International Conference “Metric Geometry of surfaces and polyhedra” dedicated to 100th anniversary of N.V.Efimov, 2010, p. 74.
4. Иванов А.О., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Компьютерная геометрия: практикум. 2010, 392 стр. 5. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A., One-dimensional Gromov minimal filling. arXiv:1101.0106v2 [math.MG] (http://arxiv.org);
А.О. Иванов, А.А. Тужилин, «Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении», Матем. сб., (5), 65–-118 (2012).
6. Ivanov A.O., Ovsyannikov Z.N., Strelkova N.P., Tuzhilin A.A. One-dimensional minimal fillings with negative edge weights. arXiv:1101.3014v1 [math.MG] (http:// arxiv.org); Vestnik MGU, Ser Matem., Mekh., 2012, to appear.
7. Bozhenko V.K., Ivanov A.O., Mishchenko A.S., Tuzhilin A.A., Shishkin A.M. Determination of Different Biological Factors on the Base of Dried Blood Spot Technology, arXiv:1101.2576v1 [math.ST] (http://arxiv.org).
8. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. The Steiner Ratio Gilbert–Pollak Conjecture Is Still Open. Clarification Statement. Algorithmica, 2011, DOI: 10.1007/s00453-011-9508-3.
9. А.О. Иванов, А.А. Тужилин, “Геометрия внутренних остовных деревьев для плоских многоугольников”, Изв. РАН, Сер. матем., (2), 3–-36 (2012).
10. А.О. Иванов, О.А. Съедина, А.А. Тужилин, «Структура минимальных деревьев Штейнера в окрестностях лунок их ребер”, Матем. заметки, (3), 353–-370 (2012).

Основные результаты А.О. Иванова в теории экстремальных сетей (часть которых получена совместно с А.А. Тужилиным):

• Классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей. Разработан оригинальный язык так называемых паркетов, на котором удалось получить эффективное описание возможных структур локально минимальных бинарных деревьев, позволившее доказать ряд нетривиальных результатов о геометрии минимальных бинарных деревьев с выпуклыми границами.
• Описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях. Рассмотрено два основных класса допустимых деформаций сетей (так называемые параметрические сети и сети-следы) и для каждого из них описана локальная структура соответствующих экстремалей.
• Доказаны теоремы существования экстремальных сетей на римановых многообразиях.
• Получена классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны. Оказалось, что типы таких сетей классифицируются фактор пространством целочисленных матриц по действию некоторой циклической группы порядка 6. Полученные результаты, в частности, позволяют для каждого рассматриваемого многообразия получить полный список возможных топологий замкнутых минимальных сетей.
• Получены ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества. Более того, оказалось, что эти результаты обобщаются на случай обычных плоских линейных деревьев (без каких бы то ни было предположений об экстремальности) и их так называемых геометрических границ.
• Получено описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве. Показано, что это пространство представляет собой многогранное множество, размерность которого может быть вычислена в терминах заданной топологии сети.
• Описана структура экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах. Оказалось, что в случае нормированных пространств класс локально минимальных сетей и класс экстремальных сетей отличаются друг от друга. Для манхеттенской плоскости получен критерий экстремальности локально минимальной сети. Построена теория разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа.
• Для таких экстремалей описана локальная структура и доказаны теоремы существования для двух основных типов допустимых деформаций. В частности показано, что наличие богатой геометрии экстремальных сетей обусловлено наличием особенностей у рассматриваемого лагранжиана.
• Получена оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства той же размерности.
• Доказано равенство отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, и стандартной евклидовой плоскости, а также проективной плоскости и стандартной сферы.
• Доказана дифференцируемость по направлениям и получены явные формулы для производных функций длины минимального остовного дерева, кратчайшего дерева и отношения Штейнера на римановых многообразиях как функций граничного множества. Найден критерий экстремальности граничного множества для отношения Штейнера.
• Изучение погруженных многоугольников, т.е. кусочно-аффинных отображений обычного плоского многоугольника в плоскость. Показано, что погруженный многоугольник допускает диагональную триангуляцию. Доказано, что замыкание произвольной монотонной ломаных представляет собой границу некоторого погруженного многоугольника.
• Описаны счетные подмножества метрического пространства, допускающих соединение деревом конечной длины. Полученный критерий, в частности, позволяет вычислить длину минимального остовного дерева как интеграл от некоторой вещественной функции, построенной по граничному множеству.
• Доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения.
• Доказана теорема о возможности превратить локально минимальное дерево в кратчайшее, добавляя граничные вершины, но не меняя дерево как подмножество пространства.
• Предложен метод описания и моделирования конформаций биополимеров, основанный на дискретных аналогах кривизны и кручения ломаных, описывающих структуру рассматриваемых молекул.
• Описана возможная структура кратчайших деревьев на плоскости в окрестности лунок их ребер. Эти результаты дополняют классические правила клина, лунки и диаманда, полученные еще в 60е годы прошлого века.
• Изучена геометрия внутренних остовных деревьев на плоских многоугольниках. Получены аналоги классических результатов о связи минимальных остовных деревьев с диаграммой Вороного и триангуляцией Делоне граничного множества. Описана возможная структура ячеек Делоне в этом случае.
• Построена теория минимальных заполнений в смысле Громова для конечных метрических пространств. В качестве заполнений рассматриваются взвешенные графы (одномерные стратифицированные многообразия). Получены общие теоремы существования, описана возможная структура минимальных заполнений, найдены минимальные заполнения для некоторых классов конечных метрических пространств, например, для аддитивных пространств, часто встречающихся в приложениях. Оказалось, что теория минимальных заполнений также тесно связана с теорией экстремальных сетей, с задачей о вычислении отношения Штейнера метрических пространств.

А.О. Иванов также занимается молекулярной биологией и биоинформатикой. Совместно с профессорами механико-математического факультета МГУ А.А. Тужилиным и А.А. Мищенко, он несколько лет читал спецкурс по приложениям геометрии к биоинформатике для студентов этого факультета. В течение ряда лет он являлся руководителем проекта РФФИ, направленного на исследования регуляции пролиферации и апоптоза методом компьютерного моделирования. В проекте принимали участие как сотрудники механико-математического факультета МГУ, так и специалисты из Российского научного центра рентгенорадиологии Минздрава России. А.О. Иванов также принимал участие в международном проекте РФФИ-ИНЦИ «Математические методы идентификации структур больших молекул и алгоритмы анализа генетической информации».

А.О. Иванов является одним из инициаторов создания на механико-математическом факультете МГУ Научно образовательного центра (НОЦ) «Математические и компьютерные методы». В рамках работы этого центра ведется активная научно- педагогическая работа по созданию новых математических и компьютерных методов геометрии и анализа, а также по внедрению полученных результатов в учебный процесс и созданию новых научных кадров.